Для начала у нас должен быть уже установлен yii2 basic. Как это сделать описано здесь: Как установить Yii 2 basic, краткая инструкция.

Настраиваем соединение с БД в файле /config/db.php и приступаем.

Добавляем авторизацию на сайте в Yii2 basic

Открываем консоль и добавляем миграцию для создания таблицы User 

yii migrate/create create_user_table

Открываем файл с миграцией /migration/m000000_000000_create_user_table.php и добавляем код создания миграции, особо выдумывать не будем и сделаем такую же как и в версии advanced: 

<?php

use yii\db\Migration;

class m000000_000000_create_user_table extends Migration
{

    public function up()
    {
        $tableOptions = null;

        if ($this->db->driverName === 'mysql') {
            $tableOptions = 'CHARACTER SET utf8 COLLATE utf8_unicode_ci ENGINE=InnoDB';
        }

        $this->createTable('user', [
            'id' => $this->primaryKey(),
            'username' => $this->string()->notNull()->unique(),
            'auth_key' => $this->string(32)->notNull(),
            'password_hash' => $this->string()->notNull(),
            'password_reset_token' => $this->string()->unique(),
            'email' => $this->string()->notNull()->unique(),
            'status' => $this->smallInteger()->notNull()->defaultValue(10),
            'created_at' => $this->integer()->notNull(),
            'updated_at' => $this->integer()->notNull(),
        ], $tableOptions);
    }

    public function down()
    {
        $this->dropTable('user');
    }

}

После сохранения правок в файле миграции (копируйте только код методов up() и down()), выполняем ее в консоле: 

yii migrate

Правим модель /models/User.php: 

<?php

namespace app\models;

use Yii;
use yii\base\NotSupportedException;
use yii\behaviors\TimestampBehavior;
use yii\db\ActiveRecord;
use yii\web\IdentityInterface;

/**
 * User model
 *
 * @property integer $id
 * @property string $username
 * @property string $password_hash
 * @property string $password_reset_token
 * @property string $email
 * @property string $auth_key
 * @property integer $status
 * @property integer $created_at
 * @property integer $updated_at
 * @property string $password write-only password
 */
class User extends ActiveRecord implements IdentityInterface
{
    const STATUS_DELETED = 0;
    const STATUS_ACTIVE = 10;

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public static function tableName()
    {
        return '{{%user}}';
    }

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public function behaviors()
    {
        return [
            TimestampBehavior::className(),
        ];
    }

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public function rules()
    {
        return [
            ['status', 'default', 'value' => self::STATUS_ACTIVE],
            ['status', 'in', 'range' => [self::STATUS_ACTIVE, self::STATUS_DELETED]],
        ];
    }

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public static function findIdentity($id)
    {
        return static::findOne(['id' => $id, 'status' => self::STATUS_ACTIVE]);
    }

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public static function findIdentityByAccessToken($token, $type = null)
    {
        throw new NotSupportedException('"findIdentityByAccessToken" is not implemented.');
    }

    /**
     * Finds user by username
     *
     * @param string $username
     * @return static|null
     */
    public static function findByUsername($username)
    {
        return static::findOne(['username' => $username, 'status' => self::STATUS_ACTIVE]);
    }

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public function getId()
    {
        return $this->getPrimaryKey();
    }

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public function getAuthKey()
    {
        return $this->auth_key;
    }

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public function validateAuthKey($authKey)
    {
        return $this->getAuthKey() === $authKey;
    }

    /**
     * Validates password
     *
     * @param string $password password to validate
     * @return bool if password provided is valid for current user
     */
    public function validatePassword($password)
    {
        return Yii::$app->security->validatePassword($password, $this->password_hash);
    }

    /**
     * Generates password hash from password and sets it to the model
     *
     * @param string $password
     */
    public function setPassword($password)
    {
        $this->password_hash = Yii::$app->security->generatePasswordHash($password);
    }

    /**
     * Generates "remember me" authentication key
     */
    public function generateAuthKey()
    {
        $this->auth_key = Yii::$app->security->generateRandomString();
    }

}

Авторизация готова, теперь добавим пользователя для проверки авторизации. Откроем контроллер /controllers/SiteController.php и добавим экшен в конец контроллера который поможет нам добавить пользователя: 

public function actionAddAdmin() {
    $model = User::find()->where(['username' => 'admin'])->one();
    if (empty($model)) {
        $user = new User();
        $user->username = 'admin';
        $user->email = 'admin@кодер.укр';
        $user->setPassword('admin');
        $user->generateAuthKey();
        if ($user->save()) {
            echo 'good';
        }
    }
}

Запускаем экшен: site.com/web/index.php?r=site/add-admin и проверяем авторизацию site.com/web/index.php?r=site/login

После успешной аворизации экшен AddAdmin можно удалить за ненадобнастью.

Если вам нужна только авторизация через БД в Yii2 basic, то на этом можно закончить. Если кроме авторизации через БД на сайте нужно добавить регистрацию и восстановление пароля, то продолжим.

Добавляем регистрацию на сайте в Yii2 basic

Для начала создадим модель для форм регистрации, для этого необходимо создать файл /models/SignupForm.php со следующим содержимым: 

<?php

namespace app\models;

use Yii;
use yii\base\Model;

/**
 * Signup form
 */
class SignupForm extends Model
{

    public $username;
    public $email;
    public $password;

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public function rules()
    {
        return [
            ['username', 'trim'],
            ['username', 'required'],
            ['username', 'unique', 'targetClass' => '\app\models\User', 'message' => 'This username has already been taken.'],
            ['username', 'string', 'min' => 2, 'max' => 255],
            ['email', 'trim'],
            ['email', 'required'],
            ['email', 'email'],
            ['email', 'string', 'max' => 255],
            ['email', 'unique', 'targetClass' => '\app\models\User', 'message' => 'This email address has already been taken.'],
            ['password', 'required'],
            ['password', 'string', 'min' => 6],
        ];
    }

    /**
     * Signs user up.
     *
     * @return User|null the saved model or null if saving fails
     */
    public function signup()
    {

        if (!$this->validate()) {
            return null;
        }

        $user = new User();
        $user->username = $this->username;
        $user->email = $this->email;
        $user->setPassword($this->password);
        $user->generateAuthKey();
        return $user->save() ? $user : null;
    }

}

Далее в /controllers/SiteController.php в use добавляем модель регистрации SignupForm и экшен signup: 

<?php

namespace app\controllers;

//...
use app\models\LoginForm;
use app\models\ContactForm;
use app\models\SignupForm;

class SiteController extends Controller
{

    //...

    public function actionSignup()
    {
        $model = new SignupForm();

        if ($model->load(Yii::$app->request->post())) {
            if ($user = $model->signup()) {
                if (Yii::$app->getUser()->login($user)) {
                    return $this->goHome();
                }
            }
        }

        return $this->render('signup', [
            'model' => $model,
        ]);
    }

}

Далее необходимо добавить представление для регистрации, добавляем файл /views/site/signup.php со следующим содержимым: 

<?php

use yii\helpers\Html;
use yii\bootstrap\ActiveForm;

$this->title = 'Signup';
$this->params['breadcrumbs'][] = $this->title;
?>
<div class="site-signup">
    <h1><?= Html::encode($this->title) ?></h1>
    <p>Please fill out the following fields to signup:</p>
    <div class="row">
        <div class="col-lg-5">

            <?php $form = ActiveForm::begin(['id' => 'form-signup']); ?>
                <?= $form->field($model, 'username')->textInput(['autofocus' => true]) ?>
                <?= $form->field($model, 'email') ?>
                <?= $form->field($model, 'password')->passwordInput() ?>
                <div class="form-group">
                    <?= Html::submitButton('Signup', ['class' => 'btn btn-primary', 'name' => 'signup-button']) ?>
                </div>
            <?php ActiveForm::end(); ?>

        </div>
    </div>
</div>

И последнее, что необходимо сделать - это добавить регистрацию в меню. Открываем файл /views/layouts/main.php находим виджет меню и добавляем пункт регистрации, после чего виджет с такого вида: 

<?php
NavBar::begin([
    'brandLabel' => 'My Company',
    'brandUrl' => Yii::$app->homeUrl,
    'options' => [
        'class' => 'navbar-inverse navbar-fixed-top',
    ],
]);

echo Nav::widget([
    'options' => ['class' => 'navbar-nav navbar-right'],
    'items' => [
        ['label' => 'Home', 'url' => ['/site/index']],
        ['label' => 'About', 'url' => ['/site/about']],
        ['label' => 'Contact', 'url' => ['/site/contact']],
        Yii::$app->user->isGuest ? (
            ['label' => 'Login', 'url' => ['/site/login']]
        ) : (
            '<li>'
            . Html::beginForm(['/site/logout'], 'post')
            . Html::submitButton(
                'Logout (' . Yii::$app->user->identity->username . ')',
                ['class' => 'btn btn-link logout']
            )
            . Html::endForm()
            . '</li>'
        )
    ],
]);

NavBar::end();
?>

Примет вид: 

<?php

NavBar::begin([
    'brandLabel' => 'My Company',
    'brandUrl' => Yii::$app->homeUrl,
    'options' => [
        'class' => 'navbar-inverse navbar-fixed-top',
    ],
]);

$menuItems = [
    ['label' => 'Home', 'url' => ['/site/index']],
    ['label' => 'About', 'url' => ['/site/about']],
    ['label' => 'Contact', 'url' => ['/site/contact']],
];

if (Yii::$app->user->isGuest) {
    $menuItems[] = ['label' => 'Signup', 'url' => ['/site/signup']];
    $menuItems[] = ['label' => 'Login', 'url' => ['/site/login']];
} else {
    $menuItems[] = '<li>'
        . Html::beginForm(['/site/logout'], 'post')
        . Html::submitButton(
            'Logout (' . Yii::$app->user->identity->username . ')',
            ['class' => 'btn btn-link logout']
        )
        . Html::endForm()
        . '</li>';
}

echo Nav::widget([
    'options' => ['class' => 'navbar-nav navbar-right'],
    'items' => $menuItems,
]);

NavBar::end();
?>

Теперь у нас есть регистрация и авторизация в Yii2 basic.

Для полноценного функционала осталось только сделать сброс и восстановление пароля.

Добавляем восстановление пароля на сайте в Yii2 basic

Для начала необходимо модифицировать модель /models/User.php и добавить в нее несколько методов для создания и проверки токена сброса пароля: 

public static function findByPasswordResetToken($token)
{

    if (!static::isPasswordResetTokenValid($token)) {
        return null;
    }

    return static::findOne([
        'password_reset_token' => $token,
        'status' => self::STATUS_ACTIVE,
    ]);
}

public static function isPasswordResetTokenValid($token)
{

    if (empty($token)) {
        return false;
    }

    $timestamp = (int) substr($token, strrpos($token, '_') + 1);
    $expire = Yii::$app->params['user.passwordResetTokenExpire'];
    return $timestamp + $expire >= time();
}

public function generatePasswordResetToken()
{
    $this->password_reset_token = Yii::$app->security->generateRandomString() . '_' . time();
}

public function removePasswordResetToken()
{
    $this->password_reset_token = null;
}

В итоге модель /models/User.php будет выглядеть следующим образом: 

<?php

namespace app\models;

use Yii;
use yii\base\NotSupportedException;
use yii\behaviors\TimestampBehavior;
use yii\db\ActiveRecord;
use yii\web\IdentityInterface;

class User extends ActiveRecord implements IdentityInterface
{
    const STATUS_DELETED = 0;
    const STATUS_ACTIVE = 10;

    public static function tableName()
    {
        return '{{%user}}';
    }

    public function behaviors()
    {
        return [
            TimestampBehavior::className(),
        ];
    }

    public function rules()
    {
        return [
            ['status', 'default', 'value' => self::STATUS_ACTIVE],
            ['status', 'in', 'range' => [self::STATUS_ACTIVE, self::STATUS_DELETED]],
        ];
    }

    public static function findIdentity($id)
    {
        return static::findOne(['id' => $id, 'status' => self::STATUS_ACTIVE]);
    }

    public static function findIdentityByAccessToken($token, $type = null)
    {
        throw new NotSupportedException('"findIdentityByAccessToken" is not implemented.');
    }

    public static function findByUsername($username)
    {
        return static::findOne(['username' => $username, 'status' => self::STATUS_ACTIVE]);
    }

    public static function findByPasswordResetToken($token)
    {

        if (!static::isPasswordResetTokenValid($token)) {
            return null;
        }

        return static::findOne([
            'password_reset_token' => $token,
            'status' => self::STATUS_ACTIVE,
        ]);
    }

    public static function isPasswordResetTokenValid($token)
    {

        if (empty($token)) {
            return false;
        }

        $timestamp = (int) substr($token, strrpos($token, '_') + 1);
        $expire = Yii::$app->params['user.passwordResetTokenExpire'];
        return $timestamp + $expire >= time();
    }

    public function getId()
    {
        return $this->getPrimaryKey();
    }

    public function getAuthKey()
    {
        return $this->auth_key;
    }

    public function validateAuthKey($authKey)
    {
        return $this->getAuthKey() === $authKey;
    }

    public function validatePassword($password)
    {
        return Yii::$app->security->validatePassword($password, $this->password_hash);
    }

    public function setPassword($password)
    {
        $this->password_hash = Yii::$app->security->generatePasswordHash($password);
    }

    public function generateAuthKey()
    {
        $this->auth_key = Yii::$app->security->generateRandomString();
    }

    public function generatePasswordResetToken()
    {
        $this->password_reset_token = Yii::$app->security->generateRandomString() . '_' . time();
    }

    public function removePasswordResetToken()
    {
        $this->password_reset_token = null;
    }

}

Метод проверки токена сброса пароля isPasswordResetTokenValid используем переменную user.passwordResetTokenExpire для отмены токена сброса пароля, ее необходимо указать в файле /congif/params.php: 

<?php

return [
    'adminEmail' => 'admin@example.com',
    'user.passwordResetTokenExpire' => 3600,
];

Далее необходимо добавить модель формы запроса на смену пароля и модель формы смены пароля. Итого 2 модели. Для начала добавим модель формы запроса на смену пароля /models/PasswordResetRequestForm.php со следующим содержимым: 

<?php

namespace app\models;

use Yii;
use yii\base\Model;

/**
 * Password reset request form
 */
class PasswordResetRequestForm extends Model
{
    public $email;

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public function rules()
    {
        return [
            ['email', 'trim'],
            ['email', 'required'],
            ['email', 'email'],
            ['email', 'exist',
                'targetClass' => '\app\models\User',
                'filter' => ['status' => User::STATUS_ACTIVE],
                'message' => 'There is no user with such email.'
            ],
        ];
    }

    /**
     * Sends an email with a link, for resetting the password.
     *
     * @return bool whether the email was send
     */
    public function sendEmail()
    {
        /* @var $user User */
        $user = User::findOne([
            'status' => User::STATUS_ACTIVE,
            'email' => $this->email,
        ]);

        if (!$user) {
            return false;
        }

        if (!User::isPasswordResetTokenValid($user->password_reset_token)) {
            $user->generatePasswordResetToken();
            if (!$user->save()) {
                return false;
            }
        }

        return Yii::$app
            ->mailer
            ->compose(
                ['html' => 'passwordResetToken-html', 'text' => 'passwordResetToken-text'],
                ['user' => $user]
            )
            ->setFrom([Yii::$app->params['supportEmail'] => Yii::$app->name . ' robot'])
            ->setTo($this->email)
            ->setSubject('Password reset for ' . Yii::$app->name)
            ->send();
    }

}

Модель будет отправлять письмо с подтверждением смены пароля. Для этого она использует 2 лайоута (html и text), html у нас уже есть, необходимо добавить text. Для этого создадим файл /mail/layouts/text.php со следующим содержимым: 

<?php
use yii\helpers\Html;
?>
<?php $this->beginPage() ?>
<?php $this->beginBody() ?>
<?= $content ?>
<?php $this->endBody() ?>
<?php $this->endPage() ?>

Также необходимо создать 2 представляения самого письма (html и text версии). Создадим html версию представления письма, для этого создаем файл /mail/passwordResetToken-html.php со следующим содержимым: 

<?php

use yii\helpers\Html;

$resetLink = Yii::$app->urlManager->createAbsoluteUrl(['site/reset-password', 'token' => $user->password_reset_token]);
?>

<div class="password-reset">
    <p>Hello <?= Html::encode($user->username) ?>,</p>
    <p>Follow the link below to reset your password:</p>
    <p><?= Html::a(Html::encode($resetLink), $resetLink) ?></p>
</div>

И представление для версии text /mail/passwordResetToken-text.php: 

<?php
$resetLink = Yii::$app->urlManager->createAbsoluteUrl(['site/reset-password', 'token' => $user->password_reset_token]);
?>

Hello <?= $user->username ?>,
Follow the link below to reset your password:

<?= $resetLink ?>

В качестве e-mail отправителя модель указывает e-mail из параметра supportEmail, его тоже нужно добавить. Для этого откройте на редактирование файл /config/params.php и добавьте в массив элемент supportEmail, в итоге получите примерно следующее: 

<?php

return [
    'adminEmail' => 'admin@devreadwrite.com',
    'user.passwordResetTokenExpire' => 3600,
    'supportEmail' => 'robot@devreadwrite.com'
];

Далее модель для формы смены пароля /models/ResetPasswordForm.php со следующим содержимым: 

<?php

namespace app\models;

use yii\base\Model;
use yii\base\InvalidParamException;

/**
 * Password reset form
 */
class ResetPasswordForm extends Model
{

    public $password;

    /**
     * @var \app\models\User
     */
    private $_user;

    /**
     * Creates a form model given a token.
     *
     * @param string $token
     * @param array $config name-value pairs that will be used to initialize the object properties
     * @throws \yii\base\InvalidParamException if token is empty or not valid
     */
    public function __construct($token, $config = [])
    {

        if (empty($token) || !is_string($token)) {
            throw new InvalidParamException('Password reset token cannot be blank.');
        }

        $this->_user = User::findByPasswordResetToken($token);

        if (!$this->_user) {
            throw new InvalidParamException('Wrong password reset token.');
        }

        parent::__construct($config);
    }

    /**
     * @inheritdoc
     */
    public function rules()
    {
        return [
            ['password', 'required'],
            ['password', 'string', 'min' => 6],
        ];
    }

    /**
     * Resets password.
     *
     * @return bool if password was reset.
     */
    public function resetPassword()
    {
        $user = $this->_user;
        $user->setPassword($this->password);
        $user->removePasswordResetToken();
        return $user->save(false);
    }

}

Теперь добавим экшены для работы с моделями описаными выше. Открываем контроллер /controllers/SiteController.php в use добаляем созданные модели и 2 действия (actionRequestPasswordReset и actionResetPassword):

<?php

namespace app\controllers;

//...
use app\models\SignupForm;
use app\models\PasswordResetRequestForm;
use app\models\ResetPasswordForm;

class SiteController extends Controller
{

    //...

    /**
     * Requests password reset.
     *
     * @return mixed
     */
    public function actionRequestPasswordReset()
    {
        $model = new PasswordResetRequestForm();

        if ($model->load(Yii::$app->request->post()) && $model->validate()) {
            if ($model->sendEmail()) {
                Yii::$app->session->setFlash('success', 'Check your email for further instructions.');
                return $this->goHome();
            } else {
                Yii::$app->session->setFlash('error', 'Sorry, we are unable to reset password for email provided.');
            }
        }

        return $this->render('requestPasswordResetToken', [
            'model' => $model,
        ]);
    }

    /**
     * Resets password.
     *
     * @param string $token
     * @return mixed
     * @throws BadRequestHttpException
     */
    public function actionResetPassword($token)
    {
        try {
            $model = new ResetPasswordForm($token);
        } catch (InvalidParamException $e) {
            throw new BadRequestHttpException($e->getMessage());
        }

        if ($model->load(Yii::$app->request->post()) && $model->validate() && $model->resetPassword()) {
            Yii::$app->session->setFlash('success', 'New password was saved.');
            return $this->goHome();
        }

        return $this->render('resetPassword', [
            'model' => $model,
      }

}

Далее для этих двух действий необходимо добавить представления, начнем с формы запроса на смену пароля /views/site/passwordResetRequestForm.php: 

<?php

use yii\helpers\Html;
use yii\bootstrap\ActiveForm;

$this->title = 'Request password reset';
$this->params['breadcrumbs'][] = $this->title;
?>

<div class="site-request-password-reset">
    <h1><?= Html::encode($this->title) ?></h1>
    <p>Please fill out your email. A link to reset password will be sent there.</p>
    <div class="row">
        <div class="col-lg-5">

            <?php $form = ActiveForm::begin(['id' => 'request-password-reset-form']); ?>
                <?= $form->field($model, 'email')->textInput(['autofocus' => true]) ?>
                <div class="form-group">
                    <?= Html::submitButton('Send', ['class' => 'btn btn-primary']) ?>
                </div>
            <?php ActiveForm::end(); ?>

        </div>
    </div>
</div>

И представление для формы смены пароля /views/site/resetPasswordForm.php: 

<?php

use yii\helpers\Html;
use yii\bootstrap\ActiveForm;

$this->title = 'Reset password';
$this->params['breadcrumbs'][] = $this->title;
?>

<div class="site-reset-password">
    <h1><?= Html::encode($this->title) ?></h1>
    <p>Please choose your new password:</p>
    <div class="row">
        <div class="col-lg-5">

            <?php $form = ActiveForm::begin(['id' => 'reset-password-form']); ?>
                <?= $form->field($model, 'password')->passwordInput(['autofocus' => true]) ?>
                <div class="form-group">
                    <?= Html::submitButton('Save', ['class' => 'btn btn-primary']) ?>
                </div>
            <?php ActiveForm::end(); ?>

        </div>
    </div>
</div>

Последний штрих, добавим ссылку на сброс пароля в представление формы авторизации, для этого открываем файл /views/site/login.php добавляем ссылку для сброса пароля: 

<div>
    If you forgot your password you can <?= Html::a('reset it', ['site/request-password-reset']) ?>.
</div>

В итоге представление авторизации на сайте будет выглядеть следующим образом: 

<?php

use yii\helpers\Html;
use yii\bootstrap\ActiveForm;

$this->title = 'Login';
$this->params['breadcrumbs'][] = $this->title;
?>

<div class="site-login">
    <h1><?= Html::encode($this->title) ?></h1>
    <p>Please fill out the following fields to login:</p>

    <?php $form = ActiveForm::begin([
        'id' => 'login-form',
        'layout' => 'horizontal',
        'fieldConfig' => [
            'template' => "{label}\n<div class=\"col-lg-3\">{input}</div>\n<div class=\"col-lg-8\">{error}</div>",
            'labelOptions' => ['class' => 'col-lg-1 control-label'],
        ],
    ]); ?>
        <?= $form->field($model, 'username')->textInput(['autofocus' => true]) ?>
        <?= $form->field($model, 'password')->passwordInput() ?>
        <?= $form->field($model, 'rememberMe')->checkbox([
            'template' => "<div class=\"col-lg-offset-1 col-lg-3\">{input} {label}</div>\n<div class=\"col-lg-8\">{error}</div>",
        ]) ?>
        <div style="color:#999;margin:1em 0">
            If you forgot your password you can <?= Html::a('reset it', ['site/request-password-reset']) ?>.
        </div>
        <div class="form-group">
            <div class="col-lg-offset-1 col-lg-11">
                <?= Html::submitButton('Login', ['class' => 'btn btn-primary', 'name' => 'login-button']) ?>
            </div>
        </div>
    <?php ActiveForm::end(); ?>

</div>

В итоге мы получили полноценный функционал авторизации через БД, регистрации и сброса пароля в Yii2 basic используя функционал шаблона Yii2 advanced.

Авторизация в Yii2 по e-mail вместо username

Для авторизации на сайте мне больше нравится использование e-mail пользователя в качестве логина вместо ника, по умолчанию в yii2 используется ник в качестве логина. Исправить это довольно просто.

Начнем с модели /models/User.php, в ней необходимо добавить метод findByEmail для поиска пользователя по e-mail: 

public static function findByEmail($email)
{
    return static::findOne(['email' => $email, 'status' => self::STATUS_ACTIVE]);
}

Далее в моделе /models/LoginForm.php меняем своойство (переменную) $username на $email в методе rules добавляем правило обработки e-mail [['email'], 'email'] и в методе getUser() меняем вызов User::findByUsername($this->username) на User::findByEmail($this->email), вот что получится: 

<?php

namespace app\models;

use Yii;
use yii\base\Model;

/**
 * LoginForm is the model behind the login form.
 *
 * @property User|null $user This property is read-only.
 *
 */
class LoginForm extends Model
{
    public $email;
    public $password;
    public $rememberMe = true;
    private $_user = false;

    /**
     * @return array the validation rules.
     */
    public function rules()
    {
        return [
            // username and password are both required
            [['email', 'password'], 'required'],
            [['email'], 'email'],
            // rememberMe must be a boolean value
            ['rememberMe', 'boolean'],
            // password is validated by validatePassword()
            ['password', 'validatePassword'],
        ];
    }

    /**
     * Validates the password.
     * This method serves as the inline validation for password.
     *
     * @param string $attribute the attribute currently being validated
     * @param array $params the additional name-value pairs given in the rule
     */
    public function validatePassword($attribute, $params)
    {
        if (!$this->hasErrors()) {
            $user = $this->getUser();

            if (!$user || !$user->validatePassword($this->password)) {
                $this->addError($attribute, 'Incorrect username or password.');
            }

        }
    }

    /**
     * Logs in a user using the provided username and password.
     * @return bool whether the user is logged in successfully
     */
    public function login()
    {
        if ($this->validate()) {
            return Yii::$app->user->login($this->getUser(), $this->rememberMe ? 3600*24*30 : 0);
        }
        return false;
    }

    /**
     * Finds user by [[email]]
     *
     * @return User|null
     */
    public function getUser()
    {
        if ($this->_user === false) {
            $this->_user = User::findByEmail($this->email);
        }
        return $this->_user;
    }

}

И последнее, в представлении /views/site/login.php меняем поле username на email: 

<?= $form->field($model, 'email')->textInput(['autofocus' => true]) ?>

Весь исходный код доступен на github: https://github.com/egor/yii2-basic-auth-through-db