Пример будет реализован на Yii2 basic, для внедрения его на Yii2 advanced необходимо сменить локацию файлов соответствующую шаблону advanced и namespace (особых трудностей это вызвать не должно).

Устанавливаем Yii2 basic, Как установить Yii 2 basic, краткая инструкция.

Форма обратной связи во всплывающем окне будет работать на каждой странице сайта, поэтому реализуем виджет который будет инициализировать модель ContactForm, отправлять сообщение в случае правильного заполнения формы и сообщать об отправке пользователю (посетителю сайта).

Создаем класс виджет app/components/FBFWidget.php со следующим содержимым: 

<?php

namespace app\components;

use Yii;
use yii\base\Widget;
use app\models\ContactForm;

class FBFWidget extends Widget
{

    public function run()
    {
        $model = new ContactForm();
        if ($model->load(Yii::$app->request->post()) && $model->contact(Yii::$app->params['adminEmail'])) {
            Yii::$app->session->setFlash('contactFormSubmitted');
        }
        return $this->render('fbfWidget', [
            'model' => $model,
        ]);
    }

}

Содержимое класса виджета FBFWidget - простой виджет с кодом инициализации, проверки и отправки формы обратной связи, код практически идентичен содержанию метода (экшена) actionContact класса (контроллера) SiteController (app/controllers/SiteController.php).

Далее создадим представление (view) для виджета app/components/views/fbfWidget.php: 

<?php

use yii\helpers\Html;
use yii\bootstrap\ActiveForm;
use yii\captcha\Captcha;

?>

<?php if (Yii::$app->session->hasFlash('contactFormSubmitted')) { ?>

    <?php
    $this->registerJs(
        "$('#myModalSendOk').modal('show');",
        yii\web\View::POS_READY
    );
    ?>

    <!-- Modal -->
    <div class="modal fade" id="myModalSendOk" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="myModalLabel">
        <div class="modal-dialog" role="document">
            <div class="modal-content">
                <div class="modal-header">
                    <button type="button" class="close" data-dismiss="modal" aria-label="Close"><span aria-hidden="true">×</span></button>
                    <h4 class="modal-title" id="myModalLabel">Feedback form</h4>
                </div>
                <div class="modal-body">
                    <p>Thank you for contacting us. We will respond to you as soon as possible.</p>
                </div>
                <div class="modal-footer">
                    <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">Close</button>
                </div>
            </div>
        </div>
    </div>

<?php } ?>

<!-- Modal -->
<div class="modal fade" id="myModal" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="myModalLabel">
    <div class="modal-dialog" role="document">
        <div class="modal-content">

            <?php $form = ActiveForm::begin(['id' => 'contact-form']); ?>

            <div class="modal-header">
                <button type="button" class="close" data-dismiss="modal" aria-label="Close"><span aria-hidden="true">×</span></button>
                <h4 class="modal-title" id="myModalLabel">Feedback form</h4>
            </div>
            <div class="modal-body">

                    <?= $form->field($model, 'name')->textInput(['autofocus' => true]) ?>

                    <?= $form->field($model, 'email') ?>

                    <?= $form->field($model, 'subject') ?>

                    <?= $form->field($model, 'body')->textarea(['rows' => 6]) ?>

                    <?= $form->field($model, 'verifyCode')->widget(Captcha::className(), [
                        'template' => '<div class="row"><div class="col-lg-3">{image}</div><div class="col-lg-6">{input}</div></div>',
                        ]) ?>

            </div>
            <div class="modal-footer">
                <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">Close</button>
                <?= Html::submitButton('Submit', ['class' => 'btn btn-primary', 'name' => 'contact-button']) ?>
            </div>

            <?php ActiveForm::end(); ?>

        </div>
    </div>
</div>

Представление содержит два простых модальных окна bootstrap. Первое содержит сообщение об успешной отправки и автоматически выводится при отправке, второе содержит саму форму обратной связи (код формы идентичен форме из представления contact (app/views/site/contacts.php)).

Далее в основном макете (app/views/layouts/main.php) добавляем инициализацию виджета и ссылку (или кнопку) для вызова всплывающего (модального) окна с формой обратной связи.

Добавляем в use виджет с формой обратной связи: 

use app\components\FBFWidget;

Добавляем (меняем) ссылку для вывода всплывающего окна с формой обратной связи в меню (Nav::widget): 

['label' => 'Contact', 'url' => '#', 'options' => ['data-toggle' => 'modal', 'data-target' => '#myModal']],

Вызываем виджет со всплывающим (модальным) окном, которое содержит форму обратной связи: 

<?= FBFWidget::widget([]) ?>

В итоге файл app/views/layouts/main.php будет выглядеть следующим образом (изменения в строках: 7, 38, 71): 

<?php
use yii\helpers\Html;
use yii\bootstrap\Nav;
use yii\bootstrap\NavBar;
use yii\widgets\Breadcrumbs;
use app\assets\AppAsset;
use app\components\FBFWidget;

AppAsset::register($this);
?>
<?php $this->beginPage() ?>
<!DOCTYPE html>
<html lang="<?= Yii::$app->language ?>">
<head>
    <meta charset="<?= Yii::$app->charset ?>">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1">
    <?= Html::csrfMetaTags() ?>
    <title><?= Html::encode($this->title) ?></title>
    <?php $this->head() ?>
</head>
<body>
<?php $this->beginBody() ?>

<div class="wrap">
    <?php
    NavBar::begin([
        'brandLabel' => 'My Company',
        'brandUrl' => Yii::$app->homeUrl,
        'options' => [
            'class' => 'navbar-inverse navbar-fixed-top',
        ],
    ]);
    echo Nav::widget([
        'options' => ['class' => 'navbar-nav navbar-right'],
        'items' => [
            ['label' => 'Home', 'url' => ['/site/index']],
            ['label' => 'About', 'url' => ['/site/about']],
            ['label' => 'Contact', 'url' => '#', 'options' => ['data-toggle' => 'modal', 'data-target' => '#myModal']],
            Yii::$app->user->isGuest ? (
                ['label' => 'Login', 'url' => ['/site/login']]
            ) : (
                '<li>'
                . Html::beginForm(['/site/logout'], 'post')
                . Html::submitButton(
                    'Logout (' . Yii::$app->user->identity->username . ')',
                    ['class' => 'btn btn-link logout']
                )
                . Html::endForm()
                . '</li>'
            )
        ],
    ]);
    NavBar::end();
    ?>

    <div class="container">
        <?= Breadcrumbs::widget([
            'links' => isset($this->params['breadcrumbs']) ? $this->params['breadcrumbs'] : [],
        ]) ?>
        <?= $content ?>
    </div>
</div>

<footer class="footer">
    <div class="container">
        <p class="pull-left">© My Company <?= date('Y') ?></p>
        <p class="pull-right"><?= Yii::powered() ?></p>
    </div>
</footer>

<?= FBFWidget::widget([]) ?>

<?php $this->endBody() ?>
</body>
</html>
<?php $this->endPage() ?>

Результат:

Форма обратной связи во всплывающем окне для Yii2 готова, пример с исходным кодом можно скачать с github: https://github.com/devreadwrite/yii2-fbf-in-modal.